线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 \\ 3 & - 12 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 10 & 2 & 5 \\ - 1 & 6 & 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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解题步骤 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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解题步骤 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 2 & - 6 \\ 10 & 2 & 5 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.1.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.1.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.1.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 12 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.9

Add the terms together.

$a_{11} = - 12 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = - 12 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 5) + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$a_{11} = - 12 (6 - 1 \cdot 5) + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$a_{11} = - 12 (6 - 5) + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.2.2.2

从 $6$ 中减去 $5$ 。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 (10 \cdot 3 - 6 \cdot 5) - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1.1

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 (30 - 6 \cdot 5) - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $5$ 。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 (30 - 30) - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 (10 \cdot 1 - 6 \cdot 2)$

解题步骤 2.1.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 (10 - 6 \cdot 2)$

解题步骤 2.1.2.4.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 (10 - 12)$

解题步骤 2.1.2.4.2.2

从 $10$ 中减去 $12$ 。

$a_{11} = - 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 \cdot - 2$

解题步骤 2.1.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.1.1

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$a_{11} = - 12 + 2 \cdot 0 - 6 \cdot - 2$

解题步骤 2.1.2.5.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$a_{11} = - 12 + 0 - 6 \cdot - 2$

解题步骤 2.1.2.5.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{11} = - 12 + 0 + 12$

解题步骤 2.1.2.5.2

将 $- 12$ 和 $0$ 相加。

$a_{11} = - 12 + 12$

解题步骤 2.1.2.5.3

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$a_{11} = 0$

解题步骤 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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解题步骤 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.2.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.2.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.2.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.9

Add the terms together.

$a_{12} = 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2

计算 $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 3 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 5) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$a_{12} = 3 (6 - 1 \cdot 5) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$a_{12} = 3 (6 - 5) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2.2.2

从 $6$ 中减去 $5$ 。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.2.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 (- 2 \cdot 3 - (- 1 \cdot 5)) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 (- 6 - (- 1 \cdot 5)) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 (- 6 - - 5) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 (- 6 + 5) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3.2.2

将 $- 6$ 和 $5$ 相加。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.2.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 (- 2 \cdot 1 - (- 1 \cdot 2))$

解题步骤 2.2.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 (- 2 - (- 1 \cdot 2))$

解题步骤 2.2.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 2.2.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 (- 2 - - 2)$

解题步骤 2.2.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 (- 2 + 2)$

解题步骤 2.2.2.4.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$a_{12} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 \cdot 0$

解题步骤 2.2.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.5.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$a_{12} = 3 + 2 \cdot - 1 - 6 \cdot 0$

解题步骤 2.2.2.5.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{12} = 3 - 2 - 6 \cdot 0$

解题步骤 2.2.2.5.1.3

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$a_{12} = 3 - 2 + 0$

解题步骤 2.2.2.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$a_{12} = 1 + 0$

解题步骤 2.2.2.5.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$a_{12} = 1$

解题步骤 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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解题步骤 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 6 \\ - 2 & 10 & 5 \\ - 1 & 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.3.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.3.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.3.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.9

Add the terms together.

$a_{13} = 3 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.2

计算 $| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 3 (10 \cdot 3 - 6 \cdot 5) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$a_{13} = 3 (30 - 6 \cdot 5) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $5$ 。

$a_{13} = 3 (30 - 30) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 (- 2 \cdot 3 - (- 1 \cdot 5)) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 (- 6 - (- 1 \cdot 5)) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 (- 6 - - 5) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 (- 6 + 5) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.3.2.2

将 $- 6$ 和 $5$ 相加。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot - 1 - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.3.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot - 1 - 6 (- 2 \cdot 6 - (- 1 \cdot 10))$

解题步骤 2.3.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot - 1 - 6 (- 12 - (- 1 \cdot 10))$

解题步骤 2.3.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 10)$ 。

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解题步骤 2.3.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot - 1 - 6 (- 12 - - 10)$

解题步骤 2.3.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot - 1 - 6 (- 12 + 10)$

解题步骤 2.3.2.4.2.2

将 $- 12$ 和 $10$ 相加。

$a_{13} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot - 1 - 6 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.5.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$a_{13} = 0 + 12 \cdot - 1 - 6 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.2.5.1.2

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{13} = 0 - 12 - 6 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.2.5.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{13} = 0 - 12 + 12$

解题步骤 2.3.2.5.2

从 $0$ 中减去 $12$ 。

$a_{13} = - 12 + 12$

解题步骤 2.3.2.5.3

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$a_{13} = 0$

解题步骤 2.4

Calculate the minor for element $a_{14}$ .

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解题步骤 2.4.1

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.9

Add the terms together.

$a_{14} = 3 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} | + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.2

计算 $| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{14} = 3 (10 \cdot 1 - 6 \cdot 2) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$a_{14} = 3 (10 - 6 \cdot 2) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$a_{14} = 3 (10 - 12) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.2.2.2

从 $10$ 中减去 $12$ 。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 (- 2 \cdot 1 - (- 1 \cdot 2)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 (- 2 - (- 1 \cdot 2)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 (- 2 - - 2) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 (- 2 + 2) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 (- 2 \cdot 6 - (- 1 \cdot 10))$

解题步骤 2.4.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 (- 12 - (- 1 \cdot 10))$

解题步骤 2.4.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 10)$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 (- 12 - - 10)$

解题步骤 2.4.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 (- 12 + 10)$

解题步骤 2.4.2.4.2.2

将 $- 12$ 和 $10$ 相加。

$a_{14} = 3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.4.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.5.1.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{14} = - 6 + 12 \cdot 0 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.4.2.5.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$a_{14} = - 6 + 0 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.4.2.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{14} = - 6 + 0 + 4$

解题步骤 2.4.2.5.2

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$a_{14} = - 6 + 4$

解题步骤 2.4.2.5.3

将 $- 6$ 和 $4$ 相加。

$a_{14} = - 2$

解题步骤 2.5

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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解题步骤 2.5.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & - 2 \\ 10 & 2 & 5 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.9

Add the terms together.

$a_{21} = - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$ 。

$a_{21} = - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = - 3 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 5) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$a_{21} = - 3 (6 - 1 \cdot 5) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$a_{21} = - 3 (6 - 5) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.3.2.2

从 $6$ 中减去 $5$ 。

$a_{21} = - 3 \cdot 1 + 0 - 2 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = - 3 \cdot 1 + 0 - 2 (10 \cdot 1 - 6 \cdot 2)$

解题步骤 2.5.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.4.2.1.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$a_{21} = - 3 \cdot 1 + 0 - 2 (10 - 6 \cdot 2)$

解题步骤 2.5.2.4.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$a_{21} = - 3 \cdot 1 + 0 - 2 (10 - 12)$

解题步骤 2.5.2.4.2.2

从 $10$ 中减去 $12$ 。

$a_{21} = - 3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.5.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.5.1.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$a_{21} = - 3 + 0 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{21} = - 3 + 0 + 4$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$a_{21} = - 3 + 4$

解题步骤 2.5.2.5.3

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$a_{21} = 1$

解题步骤 2.6

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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解题步骤 2.6.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.9

Add the terms together.

$a_{22} = 1 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$ 。

$a_{22} = 1 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.6.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 1 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 5) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$a_{22} = 1 (6 - 1 \cdot 5) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$a_{22} = 1 (6 - 5) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.3.2.2

从 $6$ 中减去 $5$ 。

$a_{22} = 1 \cdot 1 + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 1 \cdot 1 + 0 - 2 (- 2 \cdot 1 - (- 1 \cdot 2))$

解题步骤 2.6.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a_{22} = 1 \cdot 1 + 0 - 2 (- 2 - (- 1 \cdot 2))$

解题步骤 2.6.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{22} = 1 \cdot 1 + 0 - 2 (- 2 - - 2)$

解题步骤 2.6.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{22} = 1 \cdot 1 + 0 - 2 (- 2 + 2)$

解题步骤 2.6.2.4.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$a_{22} = 1 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.5.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$a_{22} = 1 + 0 - 2 \cdot 0$

解题步骤 2.6.2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$a_{22} = 1 + 0 + 0$

解题步骤 2.6.2.5.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$a_{22} = 1 + 0$

解题步骤 2.6.2.5.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$a_{22} = 1$

解题步骤 2.7

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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解题步骤 2.7.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 \\ - 2 & 10 & 5 \\ - 1 & 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.7.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.7.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.9

Add the terms together.

$a_{23} = 1 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.2

计算 $| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.7.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 1 (10 \cdot 3 - 6 \cdot 5) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.2.1.1

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$a_{23} = 1 (30 - 6 \cdot 5) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $5$ 。

$a_{23} = 1 (30 - 30) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.2.2.2

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.7.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 (- 2 \cdot 3 - (- 1 \cdot 5)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 (- 6 - (- 1 \cdot 5)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 2.7.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 (- 6 - - 5) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 (- 6 + 5) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.3.2.2

将 $- 6$ 和 $5$ 相加。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot - 1 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.7.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot - 1 - 2 (- 2 \cdot 6 - (- 1 \cdot 10))$

解题步骤 2.7.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot - 1 - 2 (- 12 - (- 1 \cdot 10))$

解题步骤 2.7.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 10)$ 。

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解题步骤 2.7.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot - 1 - 2 (- 12 - - 10)$

解题步骤 2.7.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot - 1 - 2 (- 12 + 10)$

解题步骤 2.7.2.4.2.2

将 $- 12$ 和 $10$ 相加。

$a_{23} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot - 1 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.7.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.5.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$a_{23} = 0 + 3 \cdot - 1 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.7.2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{23} = 0 - 3 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.7.2.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{23} = 0 - 3 + 4$

解题步骤 2.7.2.5.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$a_{23} = - 3 + 4$

解题步骤 2.7.2.5.3

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$a_{23} = 1$

解题步骤 2.8

Calculate the minor for element $a_{24}$ .

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解题步骤 2.8.1

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.8.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.8.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.8.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.9

Add the terms together.

$a_{24} = 1 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$ 。

$a_{24} = 1 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.8.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.8.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{24} = 1 (10 \cdot 1 - 6 \cdot 2) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.8.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.3.2.1.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$a_{24} = 1 (10 - 6 \cdot 2) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.8.2.3.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$a_{24} = 1 (10 - 12) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.8.2.3.2.2

从 $10$ 中减去 $12$ 。

$a_{24} = 1 \cdot - 2 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.8.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.8.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{24} = 1 \cdot - 2 + 3 (- 2 \cdot 1 - (- 1 \cdot 2)) + 0$

解题步骤 2.8.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a_{24} = 1 \cdot - 2 + 3 (- 2 - (- 1 \cdot 2)) + 0$

解题步骤 2.8.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 2.8.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{24} = 1 \cdot - 2 + 3 (- 2 - - 2) + 0$

解题步骤 2.8.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{24} = 1 \cdot - 2 + 3 (- 2 + 2) + 0$

解题步骤 2.8.2.4.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$a_{24} = 1 \cdot - 2 + 3 \cdot 0 + 0$

解题步骤 2.8.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.5.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a_{24} = - 2 + 3 \cdot 0 + 0$

解题步骤 2.8.2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$a_{24} = - 2 + 0 + 0$

解题步骤 2.8.2.5.2

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$a_{24} = - 2 + 0$

解题步骤 2.8.2.5.3

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$a_{24} = - 2$

解题步骤 2.9

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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解题步骤 2.9.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & - 2 \\ - 12 & - 2 & - 6 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.9.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.9.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.9.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.9

Add the terms together.

$a_{31} = - 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 6 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 6 & 3 \end{array} |$ 。

$a_{31} = - 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.9.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = - 3 (- 2 \cdot 3 - 1 \cdot - 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$a_{31} = - 3 (- 6 - 1 \cdot - 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$a_{31} = - 3 (- 6 + 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3.2.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$a_{31} = - 3 \cdot 0 + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.9.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = - 3 \cdot 0 + 0 - 2 (- 12 \cdot 1 - 6 \cdot - 2)$

解题步骤 2.9.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.4.2.1.1

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$a_{31} = - 3 \cdot 0 + 0 - 2 (- 12 - 6 \cdot - 2)$

解题步骤 2.9.2.4.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{31} = - 3 \cdot 0 + 0 - 2 (- 12 + 12)$

解题步骤 2.9.2.4.2.2

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$a_{31} = - 3 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.5.1.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$a_{31} = 0 + 0 - 2 \cdot 0$

解题步骤 2.9.2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$a_{31} = 0 + 0 + 0$

解题步骤 2.9.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{31} = 0 + 0$

解题步骤 2.9.2.5.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{31} = 0$

解题步骤 2.10

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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解题步骤 2.10.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 3 & - 2 & - 6 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.10.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.10.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.10.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.9

Add the terms together.

$a_{32} = 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} |$ 。

$a_{32} = 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.10.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 1 (- 2 \cdot 3 - 1 \cdot - 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.10.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$a_{32} = 1 (- 6 - 1 \cdot - 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$a_{32} = 1 (- 6 + 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.3.2.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$a_{32} = 1 \cdot 0 + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.10.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 1 \cdot 0 + 0 - 2 (3 \cdot 1 - - - 2)$

解题步骤 2.10.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.10.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$a_{32} = 1 \cdot 0 + 0 - 2 (3 - - - 2)$

解题步骤 2.10.2.4.2.1.2

乘以 $- - - 2$ 。

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解题步骤 2.10.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{32} = 1 \cdot 0 + 0 - 2 (3 - 1 \cdot 2)$

解题步骤 2.10.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{32} = 1 \cdot 0 + 0 - 2 (3 - 2)$

解题步骤 2.10.2.4.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$a_{32} = 1 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.10.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.10.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.5.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$a_{32} = 0 + 0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.10.2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a_{32} = 0 + 0 - 2$

解题步骤 2.10.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{32} = 0 - 2$

解题步骤 2.10.2.5.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$a_{32} = - 2$

解题步骤 2.11

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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解题步骤 2.11.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 \\ 3 & - 12 & - 6 \\ - 1 & 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.11.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.11.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.11.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 6 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.9

Add the terms together.

$a_{33} = 1 | \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 6 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.2

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 6 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.11.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 1 (- 12 \cdot 3 - 6 \cdot - 6) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.11.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.2.2.2.1.1

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$a_{33} = 1 (- 36 - 6 \cdot - 6) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$a_{33} = 1 (- 36 + 36) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.2.2.2

将 $- 36$ 和 $36$ 相加。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 1 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.11.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 3 - - - 6) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.11.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.2.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 (9 - - - 6) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.3.2.1.2

乘以 $- - - 6$ 。

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解题步骤 2.11.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 (9 - 1 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 (9 - 6) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.3.2.2

从 $9$ 中减去 $6$ 。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.11.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 (3 \cdot 6 - - - 12)$

解题步骤 2.11.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.11.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.2.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 (18 - - - 12)$

解题步骤 2.11.2.4.2.1.2

乘以 $- - - 12$ 。

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解题步骤 2.11.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 (18 - 1 \cdot 12)$

解题步骤 2.11.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 (18 - 12)$

解题步骤 2.11.2.4.2.2

从 $18$ 中减去 $12$ 。

$a_{33} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 6$

解题步骤 2.11.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.11.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.2.5.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$a_{33} = 0 + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 6$

解题步骤 2.11.2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$a_{33} = 0 + 9 - 2 \cdot 6$

解题步骤 2.11.2.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$a_{33} = 0 + 9 - 12$

解题步骤 2.11.2.5.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$a_{33} = 9 - 12$

解题步骤 2.11.2.5.3

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$a_{33} = - 3$

解题步骤 2.12

Calculate the minor for element $a_{34}$ .

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解题步骤 2.12.1

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 \\ 3 & - 12 & - 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.12.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.12.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.12.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.9

Add the terms together.

$a_{34} = 1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 1 & 6 \end{array} |$ 。

$a_{34} = 1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.12.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.12.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{34} = 1 (- 12 \cdot 1 - 6 \cdot - 2) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.12.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.12.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.12.2.3.2.1.1

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$a_{34} = 1 (- 12 - 6 \cdot - 2) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.12.2.3.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{34} = 1 (- 12 + 12) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.12.2.3.2.2

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$a_{34} = 1 \cdot 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.12.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.12.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{34} = 1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 - - - 2) + 0$

解题步骤 2.12.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.12.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.12.2.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$a_{34} = 1 \cdot 0 + 3 (3 - - - 2) + 0$

解题步骤 2.12.2.4.2.1.2

乘以 $- - - 2$ 。

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解题步骤 2.12.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{34} = 1 \cdot 0 + 3 (3 - 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 2.12.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{34} = 1 \cdot 0 + 3 (3 - 2) + 0$

解题步骤 2.12.2.4.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$a_{34} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0$

解题步骤 2.12.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.12.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.12.2.5.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$a_{34} = 0 + 3 \cdot 1 + 0$

解题步骤 2.12.2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$a_{34} = 0 + 3 + 0$

解题步骤 2.12.2.5.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$a_{34} = 3 + 0$

解题步骤 2.12.2.5.3

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$a_{34} = 3$

解题步骤 2.13

Calculate the minor for element $a_{41}$ .

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解题步骤 2.13.1

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & - 2 \\ - 12 & - 2 & - 6 \\ 10 & 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.13.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.13.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.13.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 10 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 10 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.9

Add the terms together.

$a_{41} = - 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 10 & 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 10 & 5 \end{array} |$ 。

$a_{41} = - 3 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.13.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{41} = - 3 (- 2 \cdot 5 - 2 \cdot - 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.13.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.13.2.3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$a_{41} = - 3 (- 10 - 2 \cdot - 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.3.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$a_{41} = - 3 (- 10 + 12) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.3.2.2

将 $- 10$ 和 $12$ 相加。

$a_{41} = - 3 \cdot 2 + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.13.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{41} = - 3 \cdot 2 + 0 - 2 (- 12 \cdot 2 - 10 \cdot - 2)$

解题步骤 2.13.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.13.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.13.2.4.2.1.1

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$a_{41} = - 3 \cdot 2 + 0 - 2 (- 24 - 10 \cdot - 2)$

解题步骤 2.13.2.4.2.1.2

将 $- 10$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{41} = - 3 \cdot 2 + 0 - 2 (- 24 + 20)$

解题步骤 2.13.2.4.2.2

将 $- 24$ 和 $20$ 相加。

$a_{41} = - 3 \cdot 2 + 0 - 2 \cdot - 4$

解题步骤 2.13.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.13.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.13.2.5.1.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$a_{41} = - 6 + 0 - 2 \cdot - 4$

解题步骤 2.13.2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$a_{41} = - 6 + 0 + 8$

解题步骤 2.13.2.5.2

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$a_{41} = - 6 + 8$

解题步骤 2.13.2.5.3

将 $- 6$ 和 $8$ 相加。

$a_{41} = 2$

解题步骤 2.14

Calculate the minor for element $a_{42}$ .

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解题步骤 2.14.1

The minor for $a_{42}$ is the determinant with row $4$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.14.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.14.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.14.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.9

Add the terms together.

$a_{42} = 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} |$ 。

$a_{42} = 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 2 & 5 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.14.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{42} = 1 (- 2 \cdot 5 - 2 \cdot - 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.14.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$a_{42} = 1 (- 10 - 2 \cdot - 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.3.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$a_{42} = 1 (- 10 + 12) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.3.2.2

将 $- 10$ 和 $12$ 相加。

$a_{42} = 1 \cdot 2 + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.14.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{42} = 1 \cdot 2 + 0 - 2 (3 \cdot 2 - (- 2 \cdot - 2))$

解题步骤 2.14.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.14.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$a_{42} = 1 \cdot 2 + 0 - 2 (6 - (- 2 \cdot - 2))$

解题步骤 2.14.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 2 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 2.14.2.4.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{42} = 1 \cdot 2 + 0 - 2 (6 - 1 \cdot 4)$

解题步骤 2.14.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$a_{42} = 1 \cdot 2 + 0 - 2 (6 - 4)$

解题步骤 2.14.2.4.2.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$a_{42} = 1 \cdot 2 + 0 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.14.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.14.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.5.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a_{42} = 2 + 0 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.14.2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$a_{42} = 2 + 0 - 4$

解题步骤 2.14.2.5.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$a_{42} = 2 - 4$

解题步骤 2.14.2.5.3

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$a_{42} = - 2$

解题步骤 2.15

Calculate the minor for element $a_{43}$ .

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解题步骤 2.15.1

The minor for $a_{43}$ is the determinant with row $4$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 \\ 3 & - 12 & - 6 \\ - 2 & 10 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.15.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.15.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.15.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 10 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 10 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.9

Add the terms together.

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 10 & 5 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.2

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & - 6 \\ 10 & 5 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.15.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{43} = 1 (- 12 \cdot 5 - 10 \cdot - 6) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.15.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.2.2.2.1.1

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$a_{43} = 1 (- 60 - 10 \cdot - 6) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.2.2.1.2

将 $- 10$ 乘以 $- 6$ 。

$a_{43} = 1 (- 60 + 60) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.2.2.2

将 $- 60$ 和 $60$ 相加。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 5 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.15.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 5 - (- 2 \cdot - 6)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.15.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.2.3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 (15 - (- 2 \cdot - 6)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 2 \cdot - 6)$ 。

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解题步骤 2.15.2.3.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 (15 - 1 \cdot 12) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 (15 - 12) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.3.2.2

从 $15$ 中减去 $12$ 。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.15.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 (3 \cdot 10 - (- 2 \cdot - 12))$

解题步骤 2.15.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.15.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.2.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 (30 - (- 2 \cdot - 12))$

解题步骤 2.15.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 2 \cdot - 12)$ 。

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解题步骤 2.15.2.4.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 12$ 。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 (30 - 1 \cdot 24)$

解题步骤 2.15.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 (30 - 24)$

解题步骤 2.15.2.4.2.2

从 $30$ 中减去 $24$ 。

$a_{43} = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 6$

解题步骤 2.15.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.15.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.2.5.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$a_{43} = 0 + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 6$

解题步骤 2.15.2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$a_{43} = 0 + 9 - 2 \cdot 6$

解题步骤 2.15.2.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$a_{43} = 0 + 9 - 12$

解题步骤 2.15.2.5.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$a_{43} = 9 - 12$

解题步骤 2.15.2.5.3

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$a_{43} = - 3$

解题步骤 2.16

Calculate the minor for element $a_{44}$ .

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解题步骤 2.16.1

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 \\ 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.16.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.16.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.16.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.9

Add the terms together.

$a_{44} = 1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & - 12 \\ - 2 & 10 \end{array} |$ 。

$a_{44} = 1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.16.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 12 & - 2 \\ 10 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.16.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{44} = 1 (- 12 \cdot 2 - 10 \cdot - 2) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.16.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.16.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.16.2.3.2.1.1

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$a_{44} = 1 (- 24 - 10 \cdot - 2) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.16.2.3.2.1.2

将 $- 10$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{44} = 1 (- 24 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.16.2.3.2.2

将 $- 24$ 和 $20$ 相加。

$a_{44} = 1 \cdot - 4 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.16.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.16.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{44} = 1 \cdot - 4 + 3 (3 \cdot 2 - (- 2 \cdot - 2)) + 0$

解题步骤 2.16.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.16.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.16.2.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$a_{44} = 1 \cdot - 4 + 3 (6 - (- 2 \cdot - 2)) + 0$

解题步骤 2.16.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 2 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 2.16.2.4.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$a_{44} = 1 \cdot - 4 + 3 (6 - 1 \cdot 4) + 0$

解题步骤 2.16.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$a_{44} = 1 \cdot - 4 + 3 (6 - 4) + 0$

解题步骤 2.16.2.4.2.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$a_{44} = 1 \cdot - 4 + 3 \cdot 2 + 0$

解题步骤 2.16.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.16.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.16.2.5.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a_{44} = - 4 + 3 \cdot 2 + 0$

解题步骤 2.16.2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$a_{44} = - 4 + 6 + 0$

解题步骤 2.16.2.5.2

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$a_{44} = 2 + 0$

解题步骤 2.16.2.5.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$a_{44} = 2$

解题步骤 2.17

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 2 & - 3 & - 3 \\ - 2 & - 2 & 3 & 2 \end{array}]$

解题步骤 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 & - 2 \\ - 1 & 1 & 2 & - 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & 3 \\ 2 & - 2 & - 3 & 2 \end{array}]$

线性代数 示例

线性代数示例